berikan contoh permasalahan sistem persamaan linear dalam kehidupan sehari-hari dan solusinya menggunakan metode eliminasi Gauss Jordan (minimal 3 variabel). mo

Kelas: X
Mata pelajaran: Matematika
Materi: Persamaan Linear 
Kata Kunci: Eliminasi Gauss Jordan 

 

Pembahasan:

 

Contoh permasalahan sistem persamaan linear dalam kehidupan sehari-hari dan solusinya menggunakan metode eliminasi Gauss Jordan:

                                                                

Rudi adalah penggemar buah, dan sering berbelanja buah di pasar. Pada minggu pertama dia membeli 2 kg buah apel, 3 kg buah mangga dan 3 kg buah jeruk. Uang yang harus dibayarkan oleh Rudi adalah sebesar Rp 165 ribu.

 

Minggu berikutnya, dia bereblanja buah dan membeli 3 kg buah apel, 4 kg buah mangga dan 2 kg buah jeruk. kali ini, Rudi harus membayar sebesar Rp 190 ribu.

 

Di minggu ketiga, Rudi berbelanja lagi dan membeli 3 kg buah apel, 2 kg buah mangga dan 2 kg buah jeruk. Rudi mengeluarkan Rp 160 ribu.

 

Tentukanlah harga per kg dari buah-buah apel, mangga dan jeruk tadi.

 

Jawaban:

 

Persoalan ini dapat dinyatakan dalam tiga persamaan linear yang masing-masing menggunakan 3 variabel. Bila kita misalkan harga per kilogram buah apel sebagai x, mangga sebagai y dan jeruk sebagai z maka:

 

2x + 3y + 3z = 165

3x + 4y + 2z = 190

3x + 2y + 2z = 160

 

Kemudian dijadikan sebagai matirk menjadi:

[tex]\begin{bmatrix} 2& 3& 3& 165 \\ 3& 4& 2& 190 \\ 3& 3& 3& 160 \end{bmatrix}[/tex]

 

Kemudian kita lakukan eliminasi sehingga menghasilkan penyelesaian.

 

1. buat pivot dengan membagi baris pertama dengan 2.

[tex]\begin{bmatrix} 1& \frac{3}{2}& \frac{3}{2}& \frac{165}{2}\\ 3& 4& 2& 190 \\ 3& 60& 3& 160 \end{bmatrix}[/tex]

2. Kalikan baris pertama dengan 3

[tex]\begin{bmatrix} 3& \frac{9}{2}& \frac{9}{2}& \frac{495}{2}\\ 3& 4& 2& 190 \\ 3& 60& 3& 160 \end{bmatrix}[/tex]

3. Kurangkan baris kedua dengan baris pertama

[tex]\begin{bmatrix} 3& \frac{9}{2}& \frac{9}{2}& \frac{495}{2}\\ 0& -\frac{1}{2}& -\frac{5}{2}& -\frac{115}{2}\\ 3& 60& 3& 160 \end{bmatrix}[/tex]

4. Kurangkan baris ketiga dengan baris pertama

[tex]\begin{bmatrix} 3& \frac{9}{2}& \frac{9}{2}& \frac{495}{2}\\ 0& -\frac{1}{2}& -\frac{5}{2}& -\frac{115}{2}\\ 0& -\frac{5}{2}& -\frac{5}{2}& -\frac{175}{2}\\ \end{bmatrix}[/tex]

5. Bagi baris pertama dengan 3

[tex]\begin{bmatrix} 1& \frac{3}{2}& \frac{3}{2}& \frac{165}{2}\\ 0& -\frac{1}{2}& -\frac{5}{2}& -\frac{115}{2}\\ 0& -\frac{5}{2}& -\frac{5}{2}& -\frac{175}{2}\\ \end{bmatrix}[/tex]

6. Buat pivot di baris kedua dengan mengalikannya dengan -2

[tex]\begin{bmatrix} 1& \frac{3}{2}& \frac{3}{2}& \frac{165}{2}\\ 0& 1& 5& 115\\ 0& -\frac{5}{2}& -\frac{5}{2}& -\frac{175}{2}\\ \end{bmatrix}[/tex]

7. Kalikan baris kedua dengan 3/2

[tex]\begin{bmatrix} 1& \frac{3}{2}& \frac{3}{2}& \frac{165}{2}\\ 0& \frac{3}{2}& \frac{15}{2}& \frac{345}{2}\\ 0& -\frac{5}{2}& -\frac{5}{2}& -\frac{175}{2}\\ \end{bmatrix}[/tex]

8. Kurangi baris pertama dengan baris kedua. Lalu balikkan baris kedua dengan membaginya dengan 3/2 

[tex]\begin{bmatrix} 1& 0& -6& -90\\ 0& 1& 5& 115\\ 0& -\frac{5}{2}& -\frac{5}{2}& -\frac{175}{2}\\ \end{bmatrix}[/tex]

9. Kalikan baris kedua dengan -5/2

[tex]\begin{bmatrix} 1& 0& -6& -90\\ 0& -\frac{5}{2}& -\frac{25}{2}& -\frac{575}{2}\\ 0& -\frac{5}{2}& -\frac{5}{2}& -\frac{175}{2}\\ \end{bmatrix}[/tex]

10. Kurangi baris ketiga dengan baris kedua. lalu balikkan baris kedua dengan membaginya dengan -5/2.

[tex]\begin{bmatrix} 1& 0& -6& -90\\ 0& 1& 5& 115\\ 0& 0& 10& 200\\ \end{bmatrix}[/tex]

11. Buat pivot di baris ketiga dengan membaginya dengan 10

[tex]\begin{bmatrix} 1& 0& -6& -90\\ 0& 1& 5& 115\\ 0& 0& 1& 20\\ \end{bmatrix}[/tex]

12. Kalikan baris ketiga dengan -6

[tex]\begin{bmatrix} 1& 0& -6& -90\\ 0& 1& 5& 115\\ 0& 0& -6& -120\\ \end{bmatrix}[/tex]

13. Kurangkan baris pertama dengan baris ketiga. Lalu kembalikan baris ketiga menjadi semula dengan membaginya dengan -6

[tex]\begin{bmatrix} 1& 0& 0& 30\\ 0& 1& 5& 115\\ 0& 0& 1& 20\\ \end{bmatrix}[/tex]

13. Kurangkan baris kedua dengan  5 kali baris ketiga

[tex]\begin{bmatrix} 1& 0& 0& 30\\ 0& 1& 0& 15\\ 0& 0& 1& 20\\ \end{bmatrix}[/tex]

Jadi harga apel adalah Rp 30 ribu, mangga adalah Rp 15 ribu, dan jeruk adalah Rp 20 ribu per kilogram.