tan² (π/7) + tan² (2π/7) + tan² (3π/7) = ...

Trigonometri Analitik.

Penyelesaian menggunakan polinomial Chebysev atau membawanya ke akar-akar polinomial berderajat tiga (persamaan kubik). Kita gunakan cara yang ke-2 tetapi cara ini harus bisa menggunakan rumus-rumus trigonometri yang dapat membawa ke persamaan kubik.

tan² (π/7) + tan² (2π/7) + tan² (3π/7)
tan 4x = -tan 3x dengan x = π/7, 2π/7, 3π/7
(4 tan x - 4 tan² x) / (1 - 6 tan² x + tan⁴ x) = -(3 tan x - tan³ x) / (1 - 3 tan² x)
4 tan x (1 - tan² x) / (1 - 6 tan² x + tan⁴ x) = tan x (3 - tan² x) / (1 - 3 tan² x)
4(1 - tan² x)(1 - 3 tan² x) = (1 - 6 tan² x + tan⁴ x)(-3 tan x + tan² x)
4 - 16 tan² x + 12 tan⁴ x = -3 + 19 tan² x - 9 tan⁴ x + tan⁶ x
tan⁶ x - 21 tan⁴ x + 35 tan² x - 7 = 0
(tan² x)³ - 21 (tan² x)² + 35 tan² x - 7 = 0
u³ - 21u² + 35u² - 7 = 0 ← Bentuk au³ + bu² + cu + d = 0

Sudah dalam bentuk persamaan kubik. Kita akan gunakan teorema akar-akar Vieta untuk menyelesaikan ini.
u₁ + u₂ + u₃ = -b/a
u₁u₂ + u₁u₃ + u₂u₃ = c/a
u₁u₂u₃ = -d/a

Perhatikan!
tan² (π/7) + tan² (2π/7) + tan² (3π/7)
= u₁ + u₂ + u₃
= -(-21) / 1 = 21